إذا حصل أحمد في أربع اختبارات على الدرجات الآتية 77 ، 80 ، 79 ، 82 و بعد اختباره الخامس أصبح متوسط درجاته 82 درجة، فما هي الدرجة التي حصل عليها في اختباره الخامس؟

إذا حصل أحمد في أربع اختبارات على الدرجات الآتية 77 ، 80 ، 79 ، 82 و بعد اختباره الخامس أصبح متوسط درجاته 82 درجة، فما هي الدرجة التي حصل عليها في اختباره الخامس؟

المتوسط الحسابي، أو الوسط الحسابي، وأحياناً المعدّل في الرياضيات والإحصاء هو قيمة تتجمع حولها قيم مجموعة ويمكن من خلالها الحكم على بقية قيم المجموعة، فتكون هذه القيمة هي الوسط الحسابي.

خواص المعدّل الحسابي

• يكون المتوسط الحسابي محصورًا دائمًا بين أكبر وأصغر عدد في العيّنة. بل وأكثر من ذلك - إنّ المتوسط الحسابي لمجموعة أعداد X=(�1,…,��) هو النقطة على محور الأعداد التي مجموع أبعادها عن كل نقطة في المجموعة يساوي صفر.
• إنّ المتوسط الحسابي ليس معلومة إحصائية قويّة، بمعنى أنّه حسّاسٌ جدًا لوجود أيّة عيّنات شاذّة، كتلك التي تبعد بعدًا كبيرًا عن معظم العيّنات - كلّما كانت العيّنة الشاذة أبعد، كان تأثيرها أكبر. كما يعاب على المتوسط الحسابي أن قيمته قد لا تنتمي إلى مجموعة العينات فقيمة المتوسط مثلاً قد تكون عدد نسبي بينما العينات أعداد صحيحة. مفهوم إحصائي آخر يشبه المتوسط الحسابي ولكنه أقوى منه هو الوسيط، وهو مساوٍ لقيمة العيّنة الموجودة بالضبط في منتصف مجموعة العيّنات إذا ما قمنا بترتيبها بشكل تصاعدي. بهذا الشكل، فإنّ وجود عيّنة شاذّة سيتسبّب فقط في تغيير بسيط في قيمة العيّنة الموجودة في الوسط.
• يستعمل حساب المعدّل كثيرًا للتغلّب على ضجيج في أنظمة معيّنة، خاصة تلك الإلكترونيّة المصحوبة بضوضاء بشتّى الترددات. على سبيل المثال، إذا أردنا تصوير صورة معيّنة، ولكنّ كل صورة نحصل عليها تكون مصحوبة بضوضاء بيضاء، فبالإمكان التغلّب على هذه الضوضاء بواسطة أخذ سلسلة من الصور لنفس المشهد. فلكل عنصورة، يتم حساب القيمة المعدلة للعنصورة بواسطة حساب المتوسط الحسابي للقيم التي حصلت عليها العنصورة في كل صورة. ولأنّ الضوضاء بيضاء (ذات قيمة متوقّعة تساوي صفرًا)، فإنّ عملية المتوسط الحسابي ستخفّف من تأثيرها. بما معناه، أنّه بالإمكان اعتبار عملية المتوسط الحسابي كأنّها ضرب من مرشحات الترددات المنخفضة.
• في أية عينة، مجموع انحرافات القيم عن الوسط الحسابي للعينة يساوي صفرا، مثال مجموع انحرافات القيم 1,3,5,7,9 عن وسطها الحسابي هو: الوسط الحسابي= (1+3+5+7+9)/5=5 إذا

(1-5)+(3-5) +(5-5)+(7-5)+(9-5)= -4+(-2)+0+2+4=0

أهم خواص المتوسط الحسابي

فيما يأتي ذكر لأهم خواص المتوسط الحسابي أو الوسط الحسابي في علم الإحصاء:

إذا كانت جميع القيم المُراد حساب المتوسط الحسابي لها في مجموعة البينات متطابقة، فإن المتوسط الحسابي يكون مطابقًا لنفس القيمة، على سبيل المثال، إذا كان 5 موظفين يتقاضون جميعًا راتب مقداره 400 دينار، فإن المتوسط الحسابي لرواتبهم يكون 400 أيضًا؛ وللتأكد يمكن حساب المتوسط الحسابي لرواتب الموظفين الخمسة كالآتي: 400 + 400 + 400 + 400 + 400/ 5 فيكون الناتج 2000/5 = 400.
مجموع الانحرافات الجبرية لمجموعة القيم عن الوسط الحسابي لها هو صفر؛ أي أن (x₁ − x̄) + (x₂ − x̄) + (x₃ − x̄) + ... + (xₙ − x̄) = صفر دائمًا، ويمك التعبير عن ذلك بالعلاقة الآتية: (xi − x̄)∑ = صفر.
إذا زادت أو نقصت كل قيمة في البيانات بمقدار ثابت، فإن المتوسط ​​يزيد أو ينقص بنفس المقدار أيضًا، أي أنه إذا ازدادت كل قيم x بمقدار k على سبيل المثال فإن المتوسط الحسابي يزداد بمقدار k أيضًا، ويمكن التعبير عن ذلك كالآتي: x₁+k, x₂+k, x₃ +k … xₙ+k إذًا المتوسط الحسابي يصبح k + x̄ والقاعدة نفسها تنطبق على القسمة والضرب، فضرب جميع القيم بنفس المقدار يعني أن المتوسط الحسابي لهذه القيم سيضرب بنفس المقدار، وقسمة جميع القيم على مقدار معين، يعني قسمة المتوسط الحسابي لها على نفس المقدار أيضًا، لكن بشرط أن لا يكون الرقم الذي تم ضربه في القيم أو قسمة القيم عليه هو صفر.

مزايا وسلبيات المتوسط الحسابي
يستخدم المتوسط الحسابي في علم الإحصاء، والرياضيات، وفي العلوم التجريبية، والاقتصاد، وعلم الاجتماع، والهندسة بفرعوها، وفي العديد من التخصصات الأكاديمية الأخرى المختلفة، وذلك لما يتمتع به المتوسط الحسابي من مزايا جيدة، وعلى الرغم من ذلك، فهو يمتلك العديد من السلبيات أيضًا، وفيما يأتي ذكر لأبرز مزايا وسلبيات المتوسط الحسابي:

مزايا المتوسط الحسابي
من أهم المزايا التي يتمتع بها المتوسط الحسابي ما يأتي:

يمتلك المتوسط الحسابي قانوناً ثابتاً أو صيغة جبرية محددة، ولذلك فإن النتيجة لا تتغير، إذ إنه لا يتأثر بموضع القيمة في مجموعة البيانات.
يأخذ المتوسط الحسابي كل قيمة موجودة في مجموعة البيانات بعين الاعتبار ولا يتجاهل أي قيمة، فهو يعتمد على جميع القيم في مجموعة البيانات.
يمكن فهم وإيجاد الوسيط الحسابي بيسر وسهولة وبشكل سريع أيضًا.
يقدم نتائج مفيدة عند استخدامه في أي مجال من مجالات الحياة اليومية المختلفة، حتى عند وجود مجموعات كبيرة من الأرقام والقيم.
يتم استخدامه كثيرًا في عمليات التحليل الإحصائي.

سلبيات المتوسط الحسابي
من أهم السلبيات التي يتضمنها المتوسط الحسابي ما يأتي:

يتأثر المتوسط الحسابي بالقيم القصوى الموجودة في مجموعة البيانات.
لا يمكن استخدام المتوسط الحسابي إلا إذا كانت جميع القيم في مجموعة البيانات معلومة، أما إذا كانت إحدى القيم مجهولة على سبيل المثال؛ فإن من غير الممكن استخدام المتوسط الحسابي عندها.
يمكن استخدام المتوسط الحسابي مع مجموعات البيانات الرقمية فقط، أما مجموعات البيانات الاسمية أو النوعية فلا يمكن استخدامه فيها، مثل استخدامه لمعرفة متوسط الذكاء العاطفي عند مجموعة أشخاص على سبيل المثال.

• السؤال: إذا حصل أحمد في أربع اختبارات على الدرجات الآتية 77 ، 80 ، 79 ، 82 و بعد اختباره الخامس أصبح متوسط درجاته 82 درجة، فما هي الدرجة التي حصل عليها في اختباره الخامس؟

• الإجابة: 92