أمامك مضلع منتظم غير مكتمل لم يُعلم عدد أضلاعه ، فما عدد أضلاعه تبعاً للمعلومات المبينة في الشكل ؟

أمامك مضلع منتظم غير مكتمل لم يُعلم عدد أضلاعه ، فما عدد أضلاعه تبعاً للمعلومات المبينة في الشكل ؟، في الهندسة الإقليدية، المضلع المنتظم هو كل مضلع بسيط جميع زواياه متساوية في القياس. من الممكن أن يكون المضلع المنتظم محدباً أو نجمياً، النجمة الخماسية مثالا.

كون أضلاع متعدد أضلاع متساويةً في القياس لا يجعمل منه متعدد أضلاع منتظم، بل يجعل منه مضلعا متساوي الأضلاع. الصنفان مختلفان. المعين على سبيل المثال، هو رباعي أضلاع متساوي الأضلاع وليس بمضلع منتظم.

خصائص عامة

هذه الخصائص تنطبق على المضلعات المحدبة والنجمية:

• جميع رؤوس المضلع المنتظم تقع على محيط دائرة تسمى دائرة محيطة. بتعبير آخر، إنهن تشتركن في دائرة. وبتعبير ثالث، المضلع المنتظم هو مضلع دائري.
• قياس أي زاوية داخلية في مضلع منتظم ذي n ضلعاً
• لكل مضلع منتظم دائرة محاطة داخله تمس مضلعاته في منتصفاتهن. المضلع المنتظم هو مضلع مماسي.
• من الممكن إنشاء مضلع منتظم له n ضلع باستخدام إنشاءات الفرجار والمسطرة إذا وفقط إذا كانت عوامل عدد أضلاعه الفردية والأولية هي أعداد فيرما. انظر إلى مضلع قابل للإنشاء.
• للمضلع المنتظم عدد أضلاعه يساوي n تناظر دوراني من الرتبة .

المضلعات القابلة للإنشاء

بعض المضلعات المنتظمة قابلة للإنشاء بالمسطرة والفرجار بسهولة وبعضها غير قابل للإنشاء بالمسطرة والفرجار بتاتا، سباعي الأضلع مثالا.

علم علماء الرياضيات الإغريق كيفية إنشاء مضلعات منتظمة عدد أضلاعهن الثلاثة والأربعة والخمسة، كما علموا إنشاء مضلع منتظم عدد أضلاعه ضعف عدد أضلاع مضلع منتظم معلوم. أدى بهم ذلك إلى طرح السؤال التالي:

هل جميع المضلعات المنتظمة قابلة للإنشاء مهما كان عدد أضلاعهن ؟ وإذا كان الجواب بالنفي، فما هن المضلعات القابلة للإنشاء وما هن المضلعات غير ذلك ؟

في عام 1796، برهن كارل فريدريش غاوس على قابلية إنشاء مضلع منتظم عدد أضلاعه سبعة عشر. بعد ذلك بخمس سنوات طور نظرية المعروفة باسم الدورة الغاوسية في كتابه استفسارات حسابية. هذه النظرية مكنته من إعطاء شرط كاف لقابلية الإنشاء وهو كما يلي:

يكون مضلع منتظم عدد أضلاعه يساوي n قابلا للإنشاء بالفرجار والمسطرة إذا كان عدد أضلاعه هذا جداءا لقوة ما لاثنين من جهة وعدد معين من أعداد فيرما الأولية، مختلفةً عن بعضها البعض من جهة ثانية (بما في ذلك الحالة حيث يكون عددهن مساويا للصفر).

على سبيل المثال، 17 هو عدد أولي لفيرما، 1 هو قوة لاثنين من الدرجة الصفر. هذا جعل مضلعا منتظما عدد أضلاعه سبعة عشر قابلا للإنشاء.

على سبيل المثال الثاني، 8 هو قوة لاثنين من الدرجة الثالثة. هذا يجعل من ثماني أضلاع منتظم قابلا للاإنشاء بالمسطرة والبركار (الحالة حيث يكون عدد أعداد فيرما الأولية في الجداء المذكور أعلاه مساويا للصفر).

خصائص المضلع المنتظم

للمضلع المنتظم مجموعو خصائص تميزه، ومن هذه الخصائص ما يأتي:

• نصف قطر دائرة التماس ويطلق عليه الخط المتعامد على المضلع، ويعرف بأنه المسافة الرأسية من أحد أضلاع المضلع حتى مركز الدائرة الداخلية للتماس.
• نصف القطر الخاص بالدائرة المحيطية ويعرف على أنه القطعة المستقيمة التي تصل بين أحد رؤوس المضلع ومركز دائرة المضلع المحيطية.
• الدائرة المضلع الداخلة وتعريفها أكبر دائرة تتلاءم مع أضلاع المضلع الداخلة، وتكون في تماس مع كل ضلع من أضلاعه، ويُسمى بالمتعامد عليه.
• الدائرة المحيطية وهي التي تكون في تماس مع رؤوس المضلع جميعها، ونصف قطر هذه الدائرة هو نصف القطر للمضلع.
• تتوازي الأضلاع المتقابلة في المضلعات المنتظمة.
• تتساوي أطوال الأضلاع التي تتقابل في المضلعات المنتظمة.
• تنصف أقطار المضلعات المنتظمة أحدها الآخر.

أنواع المضلعات

المضلعات هي الشكال الهندسية بأشكالها وأنماطها المتباينة، وتقسم المضلعات إلى عدة قطاعات بالشكل التالي:

المضلعات المنتظمة

ويطلق هذا المصطلح على الأشكال الهندسية التي تتساوي كل زواياها الداخلة، وكل جوانبها، وتتسم هذه المضلعات عادة بالتحدب.

وقد يكون المضلع المنتظم خماسيًا أو نجميًا، أو محدباً.

المضلعات غير المنتظمة

وهي على خلاف المضلعات المنتظمة حيث من الممكن أن تتباين أطوال أجنابها أو قياس الزوايا الداخلة لها.

المضلعات المحدبة

وفيها تكون قياسات الزوايا الداخلة بالإجماع تقل عن 180 درجة، ورؤوسها تتجه إلى خارج المضلع بعيدًا عنه.

المضلعات المقعرة

وهي العكس تمامًا من المضلعات المحدبة إذ يكون قياس واحدة أو أكثر من الزوايا الداخلية لها تزيد عن 180 درجة، وتتجه أحد رؤوسها إلى جزء المضلع  الداخلي.

المضلعات البسيطة

مضلعات واضحة الحدود لا تتقاطع أضلاعها لتكوين مضلعات تصغرها.

المضلعات المعقدة أو المتقاطعة

وهي على النقيض من المضلعات البسيطة فأحد أضلاعها يتقاطع مع آخر لتكوين مضلعات أصغر منه، وتختلف خصائص هذا النوع من المضلعات تمامًا عن باقي الأنواع.

ما هي خصائص المضلعات ؟

تتصف المضلعات بوجود خصائص وقوانين خاصة بها نورد بعضها فيما يلي:

• الزوايا المتواجدة بداخل المضلع يطلق عليها زواياه الداخلة، ويكونها تلاقي ضلعين متتاليين بالمضلع.
• عدد أضلاع كل مضلع يساوي عدد رؤوسه يساوي عدد زواياه الداخلة.
• الزوايا الداخلة للمضلع المنتظم تتساوي في القياس بينما تتباين في غير المنتظم.

زوايا المضلع المنتظم

• زوايا المضلع المنتظم من الداخل يحسب قياسها بالقانون الآتي: (قياس الزاوية =180×(ن-2)/ن) حيث (ن) هو عدد أضلاع المضلع، وكمثال على ذلك المضلع خماسي الأضلاع له خمس زوايا وبالتالي يكون قياس كل زاوية منهم يساوي مجموع قياسات الزوايا مقسوم على عدد الزوايا.
• الزوايا المتجاورة وهي تلك التي تتشارك في ضلع واحد للمضلع.
• زوايا المضلع الخارجية وهي الزوايا التي تنحصر بين أحد أضلاع المضلع وامتداد الضلع الذي يجاوره، وزوايا المضلع الخارجية تتساوي قياساتها في المضلعات المنتظمة، ويتم حسابها بتقسيم 360 درجة على عدد أضلاع المضلع، ونمثل لذلك بقياس زوايا المضلع السداسي الخارجية وتكون 360 درجة مقسومة على عدد الأضلاع وهو 6 ليكون الناتج 60 درجة للزاوية الخارجية الواحدة.

مساحة المضلع المنتظم

ويتم حسابها من خلال القانون الآتي:

مساحة المضلع المنتظم= (عدد أضلاعه × طول أحد الأضلاع × المسافة العامودية بين الضلع ومركز المضلع)/2).

محيط المضلع المنتظم

ويحسب محيط المضلع المنتظم بالمعادلة التالية:

محيط المضلع المنتظم= (ن × طول الضلع) بحيث (ن) يمثل عدد أضلاعه.

•  السؤال: أمامك مضلع منتظم غير مكتمل لم يُعلم عدد أضلاعه ، فما عدد أضلاعه تبعاً للمعلومات المبينة في الشكل ؟

• الإجابة: 12 ضلع