ما هي الاعداد الاولية

ما هي الاعداد الاولية، العدد الأولي والعدد الأول هو عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1، لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى واحد فقط. يُدعى كل عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1 وغير أولي عددا مؤلفا. على سبيل المثال، 5 هو عدد أولي لأنه لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى 5، بينما 6 هو عدد مؤلف لأنه قابل للقسمة على 1، وعلى 2 وعلى 3 وعلى 6. تقيم المبرهنة الأساسية في الحسابيات الدور المركزي للأعداد الأولية في نظرية الأعداد: كل عدد صحيح طبيعي أكبر قطعا من 1 يساوي جُداء (ضَرب) مجموعة وحيدة ما من الأعداد الأولية (بغض النظر عن ترتيب هؤلاء الأعداد داخل هذهِ المجموعة). فإن هذهِ المبرهنة تستلزم إقصاء 1 من لائحة الأعداد الأولية.

لأجل تحديد هل العدد أولي أم لا؟ توجد طريقة سهلة ولكنها بطيئة، تسمى القسمة المتكررة، وتتمثل في قسمة هذا العدد على الأعداد المحصورة بين 2 والجذر التربيعي للعدد المعين. توجد خوارزميات أخرى أكثر فعالية من القسمة، تستعمل في تحديد أولية الأعداد الكبيرة، وخصوصا عندما يتعلق الأمر بأعداد ذات شكل خاص كأعداد ميرسين الأولية. وفي 21 ديسمبر 2018، تألف أكبر عدد أولي تم الوصول إليه من 24,862,048 رقما.

مجموعة الأعداد الأولية مجموعة غير منتهية. وقد برهن على ذلك أقليدس في حوالي عام 300 قبل الميلاد. لا تعرف صيغة ما، جميع قيمها أعداد أولية. ولكن توزيع الأعداد الأولية يمكن أن يخضع للدرس وأن تقام حولهُ النظريات. إن أول مبرهنة تذهب في هذا الاتجاه هي مبرهنة الأعداد الأولية، والتي بُرهن عليها في نهاية القرن التاسع عشر والتي بموجبها الاحتمال أن يكون عدد طبيعي ما n، اختير بصفة عشوائية، أولياً، يتناسب عكسيا مع عدد الأرقام التي يحتوي عليها هذا العدد. وبتعبير آخر، يتناسب عكسيا مع اللوغارتم الطبيعي للعدد n.

خضعت الأعداد الأولية لبحوث عديدة، مع ذلك تظل الكثير من الأسئلة الأساسية مثل فرضية ريمان وحدسية غولدباخ التي تنص على أن أي عدد زوجي أكبر قطعاً من 2، يمكن أن يكتب على شكل مجموع عددين أوليين، وحدسية الأعداد الأولية التوأم والتي تنص على أن عدد الأزواج من الأعداد الأولية والتي يكون الفرق بينهما مساويا ل2 هو عدد غير منته، وهنالك مسائل غير محلولة حتى الآن بالرغم من مرور أكثر من قرن على طرحها. والسبب الأساسي يعود إلى عدم فهم العلماء لطريقة توزيع الأعداد الأولية، على عكس الأعداد الفردية أو الزوجية على سبيل المثال، وكانت هذه المعضلات سببا في تطورات كثيرة عرفتها نظرية الأعداد، التي اهتمت بالخصائص الجبرية والتحليلية للأعداد. وتستعمل الأعداد الأولية في عدة مجالات في تكنولوجيا المعلومات كالتشفير باستخدام المفتاح المعلن. حيث تعتمد أساسا هذهِ التقنية على خصائص معينة كصعوبة تعميل الأعداد الكبيرة إلى جداء أعداد أولية.

خصائص الأعداد الأولية

• أي عدد أولي أكبر من 3 يكتب على شكل 6k+1 أو 6k-1 حيث k عدد طبيعي.
• كل عدد صحيح n> 1 له قاسم أولي.
• إذا كان n عدداً مؤلفاً (غير أولي) فإن له قاسم أولي p أصغر أو يساوي الجذر التربيعي ل n.
• إذا كان الفرق بين عددين أوليين مساويا ل 2، فهذان العددان يسميان توأما أوليا. 5 و 7 من جهة و 11 و 13 من جهة ثانية، هما توأمان أوليان. (حدسية العددين الأوليين التوأم)

أنواع الاعداد الاولية

تعرف الأعداد في الرياضيات على أنها قيمة حسابية تُستخدم لتمثيل كمية كائن، أي أنها قيمة كمية لكائن ما بشكل رياضي، والأعداد هي أهم أساسيات علم الرياضيات، فبلا أعداد لا يوجد علم الرياضيات أو العلوم الأخرى المرتبطة بوجودها مثل الفيزياء أو الكيمياء ونحوها، وهناك أنماط أو أنواع مختلفة من الرياضيات التي يجب على كل مهتم أو شخص مقبل لدراسة هذا العلم أن يعرفها، والتي يمكن تلخيصها بالتالي:

• الأعداد الطبيعية: ورمزها N، هي أرقام العد المشتركة من 1 إلى ما لا نهاية، بما في ذلك الأرقام الأولية والأرقام الزوجية، وهي حصراً أعداد موجبة.
• الأعداد الصحيحة: ورمزها Z، تشمل كافة الأعداد الصحيحة من غير الكسور، سواء كانت هذه الأعداد سالبة أو موجبة.
• الأعداد الصحيحة الكلية: ورمزها W، هي مجموعة الأعداد الطبيعية غير السالبة بدءاً من الصفر، أي من 0 إلى ما لا نهاية.
• الأعداد الحقيقية: ورمزها R، تشمل الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة والأعداد الكسرية والأعداد العشرية، لكن بدون أرقام خيالية.
• الأعداد النسبية أو المنطقية: ورمزها Q، هي جميع الأعداد التي يمكن كتابتها أو التعبير عنها بصورة كسور.
• الأعداد غير النسبية أو غير المنطقية: ورمزها P، جميع الأعداد التي لا يمكن كتابتها أو التعبير عنها بصورة كسور.
• الأعداد المركبة: ورمزها C، تعرف على أنها أي رقم يمكن كتابته بالصيغة (a+bi) حيث أن a وb هما عددان حقيقيان، وi هو الجذر التربيعي لـ -1.

أمثلة حول الأعداد الأولية

كَتوضيح بسيط لكيفية معرفة الأعداد الأوّلية وتحديدها، سوف نقد الأمثلة البسيطة التالية:

• المثال الأول: هل العدد 10 هو عدد أولي؟
  • الحل: قطعاً لا، وذلك ببساطة لأنه يقبل القسمة على 5 و2 و1 و10، والعدد الأولي لا يقبل القسمة إلى على عاملين فقط.
• المثال الثاني: هل العدد 19 هو عدد أولي؟
  • الحل: بشكل بسيط للغاية، هذا الرقم لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى العدد 1، وبالتالي فهو عدد أولي.
• المثال الثالث: كم عدد الأعداد الأوّلية الموجودة بين العددين 1 و100؟ وما هي؟
  • الحل: يوجد 25 عددًا أوليًا بين العددين 1 و100، وهذه الأعداد هي: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، و97.
• المثال الرابع: تحقق مما إذا كان 64 عددًا أوليًا أم لا؟
  • الحل: بتحليل العدد 64 إلى عوامله الأولية، سنجد أنها 1، 2، 4، 8، 16، 32، 64، وبالتالي هذا العدد لبس أولي.
• المثال الخامس: ما هو أكبر عدد أولي يقع بين 1 و10؟ 
  • الحل: بالنظر إلى الأعداد الأولية بين العددين بين 1 و10، والتي هي (2، 3، 5، 7)، سنجد أن العدد الأولي الأكبر بينها هو 7.