يستعمل حارس غابة ظلال الأشياء المتجاورة مع ارتفاعاتها و التي تكون مثلثات متشابهة في إيجاد ارتفاع الأشجار، فما ارتفاع الشجرة في الشكل أدناه؟

يستعمل حارس غابة ظلال الأشياء المتجاورة مع ارتفاعاتها و التي تكون مثلثات متشابهة في إيجاد ارتفاع الأشجار، فما ارتفاع الشجرة في الشكل أدناه؟

الهندسة الرياضية هي فرع من فروع الرياضيات المعنية بدراسة الأشكال، وقياس الحجوم والمساحات، ودراسة الهندسة الفراغية.

ويسمى من يدرس في مجال هذا العلم مهندساً رياضياً. ولقد نشأ هذا العلم في الحضارات القديمة باعتباره مجموعة من العلوم العملية حول الأطوال، والمساحات، والحجوم، على يد مجموعة من العلماء الغربيين القدامى مثل طاليس (القرن السادس قبل الميلاد).

وبحلول القرن الثالث قبل الميلاد وضع إقليدس المسلمات الأساسية في علم الهندسة الرياضية، حيث أصبحت الهندسة الإقليدية معياراً لقرون طويلة. وبعدها طور أرخميدس تقنيات بارعة في حساب المساحات والحجوم، بطرق كثيرة مثل التكامل.

وأصبح علم الفلك، وخاصة تحديد مواقع النجوم والكواكب في السماء ووصف العلاقات بين حركة الكواكب، أحد أهم مجالات التساؤلات الهندسية خلال الألفية ونصف الألفية التاليين.

أنواع المثلثات

من الممكن تصنيف المثلثات تبعا لأطوال أضلاعها كما يلي:

• مثلث متساوي الأضلاع: هو مثلث جميع أضلاعه متساوية، وتكون جميع زوايا المثلث متساوي الأضلاع متساوية أيضا، وقيمة كل منها 60 درجة.
• مثلث متساوي الضلعين: ويسمى أيضا متساوي الساقين، هو مثلث فيه ضلعان متساويان. الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين تكونان متساويتين أيضا.
• مثلث مختلف الأضلاع أو أخْمَعيّ: هو مثلث أطوال أضلاعه مختلفة، زوايا هذا المثلث تكون مختلفة القيم أيضا.

حسب زواياه الداخلية

يمكن أيضا تصنيف المثلثات تبعا لقياس الزوايا الداخلية في المثلث:

• مثلث قائم الزاوية: له زاوية قياسها 90 درجة (زاوية قائمة)، يدعى الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر، وهو أطول أضلاع هذا المثلث.
• مثلث منفرج الزاوية: له زاوية قياسها أكبر من 90 درجة وأصغر من 180 درجة (زاوية منفرجة).
• مثلث حاد الزوايا: كل زواياه قياسها أصغر من 90 درجة (زاوية حادة).

حقائق عن المثلثات

مجموع زوايا المثلث

• مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة.
• ويمكن إثبات ذلك عن طريق الزاوية المستقيمة، كما هو مبين بالشكل المجاور.

الزاوية الخارجية للمثلث

• الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخلتين غير المجاورة لها.
• في الشكل المجاور يكون قياس الزاوية (ACD) يساوي مجموع قياسي الزاويتين (ABC) و (BAC).
• مجموع الزوايا الخارجية الثلاثة (واحدة لكل رأس) لأي مثلث هو 360 درجة.

تطابق مثلثين

يقال عن مثلثين أنهما متطابقان إذا توافرت أحد الشروط التالي:

1. إذا تساوت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما (ضلع، ضلع، ضلع).
2. إذا تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني وتساوى طول الضلع المشترك بين الزاويتين مع نظيره في المثلث الثاني (زاوية، ضلع، زاوية).
3. إذا تساوى قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر وتساوت أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية في مثلث مع أطوال الضلعين المناظرين في المثلث الثاني (ضلع، زاوية، ضلع).

نتائج التطابق

• مساحتي المثلثين المتطابقين متساويتين.
• محيطي المثلثين المتطابقين متساويين.

السؤال: يستعمل حارس غابة ظلال الأشياء المتجاورة مع ارتفاعاتها و التي تكون مثلثات متشابهة في إيجاد ارتفاع الأشجار، فما ارتفاع الشجرة في الشكل أدناه؟

الإجابة: 60 قدما