ما قيمة س في الشكل أدناه ؟

ما قيمة س في الشكل أدناه ؟، يمكن تعريف القيمة المطلقة (بالإنجليزية: Absolute Value) بأنّها المسافة التي يبعدها العدد الحقيقي بغض النظر عن إشارته عن الصفر على خط الأعداد، فالعدد 6 يبعد عن الصفر بمقدار 6، وكذلك الأمر بالنسبة للعدد (-6)،

 وهي تُعنى بقيمة العدد دون النظر إلى إشارته، وتُستخدم عادة عند التكلم عن المسافات، لعدم وجود مسافات سالبة في الواقع والحياة.

كيفية كتابة القيمة المطلقة

تُكتب القيمة المطلقة للعدد س مثلاً باستخدام الرمز الآتي: |س|؛ فمثلاً يمكن التعبير عن القيمة المطلقة للعدد (5) على شكل |5| = 5، وكذلك الأمر بالنسبة للعدد (-5): |5-|=5، وهي تعني عملياً إزالة الإشارة السالبة الموجودة أمام العدد، والتفكير في جميع الأعداد على أنها موجبة دائماً أو مساوية للصفر فقط.

اقتران القيمة المطلقة

يعبّر عن اقتران القيمة المطلقة بالصيغة الآتية: ق(س)=|س|، وهو يحوّل قيمة س إلى القيمة الموجبة دائماً؛ فمثلاً ق(4-)=|4-|=4، وياخذ هذا الاقتران عند تمثيله بياناً شكل حرف (V)، ويمتاز بالمميزات الآتية:

1.  مجاله هو جميع الأعداد الحقيقية.
2. مداه هو جميع الأعداد الحقيقية التي تساوي أو تزيد عن الصفر.
3. رسمه البياني يقع بالكامل فوق محور السينات.
4.  رسمه البياني متماثل بالنسبة لمحور الصادات.

خصائص القيمة المطلقة

• a|≥0|: أي أن القيمة المطلقه لأي عدد a، أكبر أو تساوي الصفر، حيث a عدد حقيقي.
• (a| = √(a²|: إن تربيع قيمة العدد a ستجعله عددًا موجبًا حتمًا، أو مساويًّا للصفر، وعندها عندما نأخذ الجذر فالقيمة أيضًا موجبة، وهذا يوافق القيمة المطلقه.
• |a × b| = |a| × |b|: حاصل ضرب القيمة المطلقه لعدد a بالقيمة المطلقة لعددٍ آخر b يساوي القيمة المطلقة لحاصل ضرب العددين a وb، والعكس صحيح.
• |a||b|=|ab|: حاصل قسمة القيمة المطلقه لعدد a على القيمة المطلقة لعددٍ آخر b يساوي القيمة المطلقة لحاصل قسمة العددين a وb، حيث b لا تساوي الصفر.
• |a|=|-a|: العدد الحقيقي وسالبه لهما نفس القيمة المطلقه.
• |a-b|=|b-a|: فقط في القيمة المطلقه، أما في الحالة العادية فإن (a-b)≠ (b-a).
• |a|=|b| فقط في حال كان a=b أو a=-b.
• |a±b|≤|a|+|b|: القيمة المطلقة لناتج جمع أو طرح قيمة عددين a وb، أقل دائمًا أو مساويةً لناتج جمع القيمة المطلقة للعدد a مع القيمة المطلقة للعدد b.

دالة القيمة المطلقه

تعطى بالعلاقة |f(x)=|x، هذه الدالة تأخذ القيمة x وتجعلها موجبةً دومًا، فعلى سبيل المثال، إذا كانت قيمة x تساوي 4-، فإن f(-4) =|-4|=4. ببساطةٍ، نحن نأخذ مدخلًا ونعوضه في دالة القيمة المطلقه ويكون الناتج هو القيمة الموجبة للمدخل، وعند تمثيل هذه الدالة بيانيًّا فإنها تأخذ شكل حرف (v)، ويكون لها الخصائص التالية:

• مجالها جميع الأعداد الحقيقية.
• مداها جميع الأعداد الحقيقية التي تساوي أو تزيد عن الصفر.
• رسمها البياني يقع بالكامل فوق محور السينات (المحورx).
• رسمها البياني متناظر بالنسبة للمحورy.

بعض التطبيقات والتمارين

• أولًا: فيما يلي بعض عمليات القيمه المطلقه البسيطة:
  • |3.5| – |2.5-| = 3.5 – 2.5 =1.
  • |5×6-|=|30-|=30.
  • |2×(2/3 – 0.5)| = |2×(1/6)| = |1/3| = 1/3.
  • |12-|- = 12-.
• ثانيًا: أوجد قيمة x في المسألة التالية: x+2|= 5|.
  الحل: x+2 = ±5 حيث أنه في حال كان x+2=5 فإن x=3، أما في حال كان x+2=-5 فإن x=-7.
• ثالثًا: احسب مدى x في المسألة: x| < 3|.
  الحل: يمكن كتابة هذه المسألة بالشكل: x<±3 وعليه: x<3 أو x>-3.
• رابعًا: احسب قيمة x في المسألة التالية: |3x-2|=|5x+4|
• الحل: لدينا (3x-2)=±(5x+4) أي لدينا حلان هما: إما 3x-2=5x+4 أي x=-3، أو 3x-2=-5x-4 أي x=-1/4.
• خامسًا: إذا كانت قيمة x=2، أوجد قيمة عملية القيمة المطلقه التالية: |4x+3|*|-3x-14|.
  الحل: نعوض x=2 فيما سبق فينتج |4*2+3|*|3*2-14-|=|11|*|20-|=11*20=220.
• سادسًا: إذا كان لدينا2a-3|=5 ،|3-4b|=11|، أوجد قيمة |b-a|علمًا أن a وb أعداد سالبة.
  الحل: .2a-3|=5→2a-3=±5→ a=4 or a=-1|
  .3-4b|=11→3-4b=±11→b=-2 or b=11|
  نختار a=-1 وb=-2، لأنه وحسب نص المسألة، a وb أعداد سالبة.
  بالتالي، b-a|=|(-1)-(-2)|=1|.

 السؤال: ما قيمة س في الشكل أدناه ؟

الإجابة: 42