أي المناطق المظللة في الأشكال أدناه تزيد مساحتها عن 40 سم2

أي المناطق المظللة في الأشكال أدناه تزيد مساحتها عن 40 سم2، الرِّيَاضِيَّات هي مجموعة من المعارف المجردة الناتجة عن الاستنتاجات المنطقية المطبقة على مختلف الكائنات الرياضية مثل المجموعات، والأعداد، والأشكال والبنيات والتحويلات. وتهتم الرياضيات أيضًا بدراسة مواضيع مثل الكمية والبنية والفضاء والتغير. ولا يوجد حتى الآن تعريف عام متفق عليه للمصطلح.

يسعى علماء الرياضيات إلى استخدام أنماط رياضية لصياغة فرضيات جديدة؛ من خلال استعمال إثباتات رياضية بهدف الوصول للحقيقة وذرء الفرضيات السابقة أو الخاطئة. فمن خلال استخدام التجريد والمنطق، طُوِّرت الرياضيات من العد والحساب والقياس إلى الدراسة المنهجية للأشكال وحركات الأشياء المادية. لقد كانت الرياضيات العملية نشاطًا إنسانيًا يعود إلى تاريخ وجود السجلات المكتوبة. يمكن أن يستغرق البحث المطلوب لحل المسائل الرياضية سنوات أو حتى قرون من البحث المستمر.

فروع علم الرياضيات

تنقسم الرياضيات إلى سبعة فروع  رئيسية، وهي:

1.  الحساب: علم الحساب يقوم على الأرقام وتطبيقاتها في العمليات الأساسية من جمع وطرح وضرب وقسمة، في المسائل اليومية والحسابات البسيطة من ربح وخسارة.
2. الطوبولوجيا: من أحدث فروع الرياضيات ويدرس التغيرات غير المألوفة في الأشكال الهندسية من تمدد والتواء.
3. الإحصاء: جانب مجرد من الرياضيات يستخدم للتنبوء بالأحداث خلال تفسير منطقي يستخدم في العلوم التطبيقية والاجتماعية.
4. الهندسة: تدرس الهندسة أشكال وأحجام الأشياء، والأبعاد بينها والمساحة، وهي مهمة في العديد من الحياة العملية.
5. علم المثلثات: يعنى بقياس الزوايا وجوانب المثلثات، وهو أحد أهم فروع الرياضيات، يوظف في التكنولوجيا.
6. التفاضل والتكامل: مرحلة متقدمة في دراسة الرياضيات تعنى بمعدل التغير، وليس قياس الأشياء الثابتة فقط، بل المتحركة أيضًا.
7. الجبر: ويمكن تمثيله بمعادلات جبرية والهدف في الجبر معرفة المجهول، هذا وهنالك نوعان من الجبر: جبر معادلات وجبر مجرد، الأول ثوابت ومجموعة مصفوفات يهتم بالعلوم والإقتصاد، والثاني يستخدم في الرياضيات المتقدمة لتحديد القيمة المتغيرة.

أبرز وأهم علماء الرياضيات

تطور علم الرياضيات كان  همزة وصلا  من  جهد علماء العرب والغرب  ممن إهتموا بهذا العلم، فيما يلي نبذة عن أبرزعلماء الرياضيات بين العصر القديم والحديث:

1.  أرخميدس: ولد أرخميدس عام 287 قبل الميلاد في إيطاليا، ويعد أشهر عالم رياضيات في عصره، إذ يعود له الفضل في اكتشاف سطح وحجم الكرة، ويعرف باهتمامه بالمرايا والميكانيك، والتعامل مع الأشكال المخروطية، وقد كان إضافة إلى ذلك عالم فلك بارز.
2.  إقليدس: عالم رياضيات اهتم بالهندسة وعناصرها، وهو واضع مقياس الهندسة الكلاسيكي.
3.  فيثاغورس: فيلسوف يوناني ولد عام 467 قبل الميلاد، وهو مخترع نظرية فيثاغورس، تلك الصيغة الرياضية الشهيرة التي تؤكد أن مربع وتر المثلث القائم يساوي مجموع المربعات في الظلعين الآخرين، وهو تطبيق مهم في قياس المسافة والمساحة.
4.  الخوارزمي: هو محمد بن موسى ولد عام 780م، جمع بين علم الرياضيات والفلك، من أبرز أعماله الأرقام الهندية، ومفاهيم الجبر، وعمل على إيجاد حلول للمعادلة الخطية والتربيعية، من أهم آثاره كتاب صورة الأرض.
5.  ابن الهيثم: عالم بصريات مسلم ولد 965م اهتم بالرياضيات والفيزياء والميكانيكا، والطب والفلسفة، أكد فرضيات عدة من بينها انكسار الضوء.
6.  بيير لابلاس: ولد عام 1749م في فرنسا، وهو عالم رياضيات وفيزيائي اهتم بالنظام الشمسي والجاذبية والأساليب الكمية للمقارنة بين الأنظمة الحية،  ومن أبرز ما قدم النظرية التحليلية للاحتمالات عام 1812م.
7.  غاوس: عالم رياضيات ألماني ولد عام 1777م، له العديد من المساهمات الرياضية، لاسيما نظرية الأعداد الهندسية والاحتمالات، قدم عام 1797 اطروحة دكتوراة حول النظرية الأساسية للجبر.
8.  ابن سينا: فيلسوف وكيميائي وطبيب مسلم ولد في بخارى عام 980م، كتب في الهندسة والرياضيات واللغة، وله عدة مؤلفات في مجال الرياضيات ككتاب الحاصل والمحصول ورسائل في الحساب والهندسة.
9.  عمر الخيام: عالم فلك ورياضيات من مواليد خرسان عام 1048م، له مناقشة منهجية لحل المعادلات التكعيبية، أثرى علم الرياضيات، كان عمر أضافة إلى ذلك شاعرا بارعا.

 مجالات علم الرياضيات

يحظى علم الرياضيات بقبول أكاديمي مدمج بالعملي وفق المجال الذي يبحث فيه، على أساسه صنف إلى ثلاثة مجالات، فيما يلي توضيح لكل منها:

1.  رياضيات بحتة: يستخدم المجال لحل المشكلات، هذا وتتضمن استخدام الأعداد، وهي دراسة المبادئ دون تطبيق عملي.
2. أسس الرياضيات: تكسب دارسها المعرفة لما بها من الأبعاد والمنطق الرياضي، والجبر والبرمجة الخطية، والتفاضل والتكامل.
3. رياضيات تطبيقية: تدرس الكميات والجبر والمنطق الرياضي، والإحصاء والبيانات، هذا المجال يقدم الحلول للمشاكل، ويستخدم في التشفير والهندسة، إذ تستخدم القيم العددية ووحدات القياس في حياتنا اليومية.

 أي المناطق المظللة في الأشكال أدناه تزيد مساحتها عن 40 سم2

الشكل الهندسي هو جسم يشغل حيزا في الفراغ ويسمى بالحدود الخارجية، قد يكون  ثنائي أو ثلاثي أو رباعي الأبعاد، ويحجز مساحةً مُحدَّدة من الفضاء وله مساحة داخلية مُحدَّدة، وتظل المعلومات الهندسية المعروفة عنه صحيحة عند تحريكه أو تكبيره أو تصغيره أو قلبه أو تدويره أو عكسه في المرآة

تتعدد المجسمات الهندسية أي الأشكال ثلاثية الأبعاد في الرياضيات، ومن أشهرها؛ الهرم، والأسطوانة، والمخروط، والمكعب، ومتوازي المستطيلات، والمنشور، والكرة، أما الأشكال الهندسية المستوية هي الأشكال ذات البعدين ومن أهمها؛ متوازي الأضلاع، والمربع، والمستطيل، وشبه المنحرف، والدائرة، والمثلث.

ما الفرق بين الشكل الهندسي والمجسم

الشكل الهندسي يمكن رسمه دون تعبئته،و له محيط ومساحة أما المجسم فيعبأ، والشكل الهندسي، أما المجسم فله مساحة ومحيط وحجم أيضا لأنه شكل ثلاثي الأبعاد، وهناك الكثير من الأشكال الهندسية المختلفة.

أنواع الأشكال الهندسية

• المثلث.
• رباعيات الأضلاع.
• المضلعات فوق رباعيات الأضلاع.
• الدائرة.
• البيضاوي.

الأشكال الهندسية ثنائية وهي تشغل حيز ببُعدَين فقط من الأبعاد المكانية، وهما الطول والعرض. بالتالي لايوجد حجم أيِّ شكل ثنائي الأبعاد، لكون الحجم يُعرَّف بمعلومية الأبعاد المكانية الثلاثة (الطول والعرض والارتفاع). مع ذلك،

أنواع الأشكال الهندسية الثنائية الأبعاد

• أشكال مُضلَّعة وأشكال منحنية.
• المضلعات الرباعيّة، والخماسية، والسداسية.
• الأشكال الهندسية الرباعية الشكل الهندسي الرباعي هو مضلع يتكون من 4 أضلاع و4 زوايا و4 رؤوس، عائلتها هي المستطيل، والمربع، والمعين، ومتوازي الأضلاع، وشبه المنحرف ويمتاز كلٌ منها بخصائص مختلفة كالآتية:

أهم الأشكال الهندسية وخواصها

المستقيم

المستقيم أو الخط المستقيم هو عدد لا نهائي من النقاط المتراصة بجانب بعضها البعض، وعرضه قريب من الصفر. خواصه: 

• من نقطتين متمايزتين يمر منهما مستقيم واحد، ويعبر المستقيم عن المسافة بين النقطتين.

المربع

هو شكل هندسي رباعي منظم، وله أهمية وفائدة كبيرة في مفاهيم الهندسة، وعليه بنيت تعريفات المساحة للأشكال الهندسية. خواصه:

• أضلاعه الأربعة متساوية في الطول.
• زواياه الأربعة متساوية وقياس الواحدة هو تسعون درجة.
• قطراه متساويان ومتعامدان.
• كل مربع هو معين ومستطيل في الوقت نفسه.
• محيط المربع = طول الضلع ×4
• مساحة المربع = 2.5 2 = 6.25 سم 2.

المستطيل

هو شكل هندسي رباعي، وهو حالة خاصة من متوازي الأضلاع، خواصه:

• زواياه الأربعة متساوية، وقياس الواحدة فيهن هو تسعون درجة.
• فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين ومتساويين.
• قطراه ينصف كل منهما الآخر.
• قطراه متساويان في الطول.
• مساحة المستطيل = الطول× العرض
• محيط المستطيل = 2(الطول + العرض)
• المستطيل = 4.5 × 2.5 = 11.25 سم 2.

المثلث

يتكون ثلاثة أضلاع، فيه مجموع طول أي ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث، وهناك عدة أنواع من المثلثات وهي: القائم، والمتساوي الساقين، ومتساوي الأضلاع. خواصه:

• زوايا المثلث الداخلية مجموعها 180 درجة.
• الزاوية الخارجية للمثلث يكون قياسها مساو لمجموع الزاويتين الداخليتيت غير المجاورة لها.
• الزوايا الخارجية للمثلث مجموعها 360 درجة.
• مساحة المثلث = نصف طول القاعدة × الارتفاع
• = نصف حاصل ضرب الضلعين × جيب الزاوية المحصورة بينهما
• محيط المثلث = مجموع أطوال اضلاعه
• المثلث = 3 × 2.5 × ½ = 3.75 سم 2.

متوازي الأضلاع

هو شكل هندسي رباعي، فيه كل ضلعان متقابلان متساويان في الطول ومتوازيان، ومساحته هي ضعف مساحة المثلث المشكل بضلعين وقطر. خواصه:

• مجموع زواياه يساوي 360 درجة.
• كل زاويتين متقابلتين متساويتين في القياس.
• قطراه يتقاطعا في نقطة المركز لتناظر متوازي الأضلاع.
• قطراه ينصف كل منهما الآخر.
• مجموع مربعات أطوال الأضلاع تساوي مجموع مربعي طولي القطرين.
• كل زاويتين متحالفتين مجموعهما 180 درجة.

متوازي المستطيلات

• المساحة الكلية = مجموع مساحات الأوجه الستة.
• المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع.
• الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع.

شبه المنحرف

هو شكل هندسي رباعي فيه ضلعان من الأربعة متوازيان، وله ارتفاع هو المسافة الفاصلة بين الضلعين المتوازيين. خواصه:

• له أربعة أضلاع فيها اثنين متوازيين فقط.
• مجموع زواياه يساوي 360 درجة.
• فيه كل زاويتين متقابلتين متساويتين في القياس.
• قطراه يلتقيان في المركز.
• شبه المنحرف = [(3 + 5) × 5] ÷ 2 = 20 سم 2.

الدائرة

هي الشكل الناتج من عدد لا نهائي من النقاط المتلاصقة والمبتعدة مسافة ثابتة عن نقطة تسمى مركز الدائرة. خواصها:

• نصف قطرها هو البعد الثابت بين أي نقطة على المحيط ومركز الدائرة.
• قطرها هو المسافة بين أي نقطتين على المحيط بشرط المرور في المركز.
• وترها هو المسافة بين أي نقطتين على المحيط.
• قوسها هو أي جزء مقتطع من المحيط.
• مماسها هو الخط المستقيم الذي يمس الدائرة من الخارج في نقطة واحدة فقط.
• نصف الدائرة = 1.5 2 × π × ½ = 3.53 سم 2.

المعين

• مساحة المعين = القاعدة × الارتفاع.
• مساحة المعين = 1/2 × حاصل ضرب القطرين = = 1/2 × القطر × القطر.
• محيط المعين = 4 × طول الضلع.

شبه المنحرف المتساوي الساقين

• مساحته = نصف مجموع القاعدتين المتوازيتين ×الارتفاع.
• = القاعدة المتوسطة ×الارتفاع.

الدائرة

• مساحة الدائرة = ط نق 2
• محيط الدائرة = 2 ط نق ( مشتقة المساحة)

الكرة

• المساحة = 4 ط نق2.
• الحجم = 3/4 ط نق3.

المكعب

• المساحة الجانبية للمكعب = 4 × مربع طول حرفه .
• المساحة الكلية للمكعب= 6 × مربع طول حرفه.
• الحجم = مكعب طول ضلعه
• حجم شبه المكعب = حاصل ضرب أبعاده الثلاثة = مساحة قاعدته × ارتفاعه
• حجم المكعب = س × س × س حيث س هو طول حرف المكعب

الاسطوانة

• المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع = 2 ط نق ع.
• المساحة الكلية = المساحة الجانبية + ضعف مساحة القاعدة.
• الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع.

المخروط القائم

• الحجم = 3/1 مساحة القاعدة × الارتفاع.
• = 3/1 ط نق 2 × ع.

المنشور القائم

• المساحة الجانبية للمنشور القائم = محيط القاعدة × ارتفاع المنشور.
• المساحة الكلية للمنشور القائم =مساحته الجانبية + ( 2× مساحة القاعدة ).
• حجم المنشور القائم = مساحة قاعدته × ارتفاع.

السؤال:  أي المناطق المظللة في الأشكال أدناه تزيد مساحتها عن 40 سم2

الإجابة: مساحة المستطيل= المحيط * الطول - 2- مربع الطول)/2، أما بالنسبة لمساحة المربع = طول القطر/2.