الدوال التي تحمل وسيطاتها ونتائجها قيمة مكونة من عنصرين عادة ما تكون صواب أو خطأ هي، في الرياضيات، الدَالَّة (الجمع: دَوَالّ) أو التابع أو الاقتران (بالإنجليزية: Function) هي كائن رياضي يمثل علاقة تربط كل عنصر من مجموعة تدعى المنطلق أو مجموعة الانطلاق أو المجال بعنصر واحد وواحد فقط على الأكثر من مجموعة تدعى المستقر أو المجال المقابل أو مجموعة الوصول أو باستعمال الصياغة الرياضية الرسمية
ينتج عن هذا التعريف عدة أمور أساسية:
- لكل تابع مجموعة منطلق (أو نطاق) غالبًا ما تدعى.
- لكل تابع مجموعة مستقر (أو نطاق مرافق) غالبًا ما تدعى.
- لا يمكن لعنصر من مجموعة المنطلق أن يرتبط إلا بعنصر وحيد من مجموعة المستقر.
- يمكن لعنصر من مجموعة المستقر أن يرتبط بعنصر واحد أو أكثر من مجموعة المنطلق.
فإذا كان المنطلق (النطاق) هو مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها متغير مستقل، فإن المستقر أو (النطاق المرافق) هو مجموعة القيم الممكنة لقيم دالة.
غالبًا ما نخصص لفظ دالة للتطبيقات التي يكون مستقرها (الدوال العددية)، أو (الدوال العقدية). في حين نسمي تطبيقًا كل ما يحقق التعريف أعلاه.
الاقتران هو علاقة يرتبط بها كل عنصر من عناصر المجال بعنصر واحد فقط من عناصر المدى.
أنواع الدوال
هناك أنواع مختلفة من الدوال في الرياضيات، ويجب تعلم هذه الأنواع من أجل تطبيق الدوال في الحياة اليومية وذلك بسبب أهمية الدوال المثلثية في حياتنا :
- الدالة متباينة .
- الدالة الشمولية .
- الدالة متعددة الحدود .
- دالة خطية .
- وظيفة المتطابقة .
- الدالة من الدرجة الثانية .
- الدوال الجبرية .
- دالة مكعب .
- دالة المعامل .
- دالة الجزء الكسري .
- دالة زوجية وفردية .
- الدالة الدورية .
- الدالة المركبة .
- الدالة الثابتة .
الدالة المتباينة
إن كان كل جزء وعنصر من المجموعة لديه صورة مختلفة في المجموعة الأخرى، فهذه الدالة تعرف باسم الدالة المتباينة، على سبيل المثال R R المعطاة من f (x) = 3x + 5 هي واحد – واحد.
الدالة الشمولية
هي الدالة التي يكون فيها على الأقل عنصرين، وتكون صورهم هي نفسها، وتعرف الدالة باسم الدالة الشمولية مثال عليها f(x) = x2 + 1، وتعرف أيضا بالدالة الشمولية إن كان لكل عنصر في المجال المشترك على الأقل صورة واحدة في المجال.
دالة متعددة الحدود
دالة ذات قيمة حقيقية f: P → P محددة بواسطة y = f (a) = h_ {0} + h_ {1} a +… .. + h_ {n} a ^ {n} h وتعرف باسم المتتالية الحسابية.
- N = عدد صحيح غير سالب.
- درجة دالة متعددة الحدود هي الدرجة الأعلى.
- إن كان الدرجة تساوي الصفر، تسمى عندها الدالة بالدالة الثابتة.
- وإذا كانت الدرجة تساوي الواحد، تسمى عندها الدالة بالدالة الخطية، مثال على ذلك ب= أ +1.
- الرسم البياني: يمثل دائما بخط مستقيم.
يمكن التعبير عن الدالة بالشكل التالي: f (a) = h_ {0} + h_ {1} a +… .. + h_ {n} a ^ {n} h
- اقوى درجة تعرف باسم الدالة كثيرة الحدودز
- تسمى الدالة كثيرة الحدود بالدالة الخطية إذا كانت الدرجة تساوي الواحد فقط.
- تكون دالة كثير الحدود تربيعية إن كانت الدرجة تساوي اثنان.
- تكون دالة كثير الحدود تكعيبية إذا كانت الدرجة تساوي ثلاثة.
الدالة الخطية
الرسم البياني للدالة الخطية عادة ما يكون خط مستقيم، و بعبارات أخرى يمكن وصف الدالة الخطية بأنها دالة كثير الحدود من الدرجة الأولى، ويتم التعبير عنها بالعلاقة التالية f(x) = mx + c.
- مثال على ذلك: f(x) = 2x + 1 عندما تكون x = 1 ويمكن إيجاد الحل من خلال تعويض كل مجهول بالرقم 1، فيكون f(1) = 2.1 + 1 = 3 وبالتالي الإجابة تكون f(1) = 3.
- مثال آخر على الدالة الخطية أو الدالة كثيرة الحدود من الدرجة الأولى هي y = x + 3.
الدالة المتطابقة
يطلق على الدالتين بأنهما متطابقتين إذا كان
- مجال f هو نفسه مجال g
- مدى f = مدى g
مثال على ذلك: f(x) = x) بينما g(x) = 1÷ 1÷ x).
الحل: f)x) معرف على كل الأعداد بينما g)x) معرف على كل الأعداد ، ما عدا تلك التي تعدم المقام وبالتالي كل الأعداد ما عدا الصفر، لذلك فإنه يكون معرفًا على مجموعة الأعداد R ما عدا الصفر .
الدالة من الدرجة الثانية
هذه الدوال والمتباينات تشمل جميع أنواع الدوال التي تكون من الشكل y = ax2 + bx + c حيث a ، b ، c \ في Rc∈R ، a ≠ 0 ستُعرف بالدالة التربيعية. سوف يكون الرسم البياني قطع مكافئ.
بعبارات أبسط الدالة التربيعية هي دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية وهي توصف بالعلاقة التالية:
F (x) = ax2 + bx + c ، و a لا تساوي صفرًا. حيث تكون a و b و c ثابتة و x متغير.
- مثال: f (x) = 2×2 + x – 1 عند x = 2.
الحل: إذا كانت س = 2 ، و (2) = 2.2 ^2 + 2-1 = 9
- مثال آخر: y = x2 + 1.
الدوال الجبرية
تُعرف الوظيفة التي تتكون من عدد محدود من المصطلحات التي تتضمن قوى وجذور المتغير المستقل x والعمليات الأساسية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة باسم معادلة جبرية أو الدالة الجبرية
الدالة التكعيبية
الدالة متعددة الحدود أو الدالة التكعيبية هي دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة، ويمكن التعبير منها من خلال العلاقة الرياضية التالية: F (x) = ax3 + bx2 + cx + d و a لا تساوي صفرًا.
- بعبارات أخرى أي دالة من النمط التالي تعتبر دالة تكعيبية f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a, b, c, d\in R و a لا تساوي صفرًا.
الدوال والمتباينات
المتباينات هي نوع من العلاقات الرياضية، ويمكن تمثيلها رياضيًا كما يتم تمثيل أي علاقة، وهي عبارة عن علاقة رياضية بين تعبيرين يتم تمثيلها عادة كما يلي :
- ≤: “أقل من أو يساوي”
- <: “أقل من”
- ≠: “لا يساوي”
- >: “أكبر من”
- ≥: “أكبر من أو يساوي
ويمكن أن تشمل المساواة متباينة صارمة او غير صارمة تضم علامة أكبر أو يساوي أو أصغر أو يساوي، وعند تبديل كلا طرفي المتباينة يجب أيضا تبديل إشارة المتباينة أي أنه: بما أنه صحيح أن 4 <5 ، فمن الصحيح أيضًا أن 5> 4 .
بينما المعادلة التي تشير إلى وجود مساواة في المتباينة فيتم التعبير عنها من خلال الرمز =
مثل حلول المعادلات الشرطية ، يمكن تمثيل حلول المتباينات في متغير واحد باستخدام خط الأعداد.
عند التفكير في المواقع على طول خط الأعداد ، يمكن تفسير رموز عدم المساواة على النحو التالي:
- ≤: “على اليسار أو يساوي
- <: “إلى يسار فقط
- ≠: لا يساوي
- >: “على يمين فقط”
- ≥: على يمين أو يساوي
السؤال: الدوال التي تحمل وسيطاتها ونتائجها قيمة مكونة من عنصرين عادة ما تكون صواب أو خطأ هي
الإجابة: الدالة المنطقية.