ما حجم المنشور الرباعي في الرسم أدناه بوحدة سم ٣ ؟، المنشور الرباعي هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد له 6 وجوه مستطيلة، وحجم المنشور الرباعي يكون بضرب أبعاده الثلاث، أي الطول × العرض × الارتفاع
والحجم كما نعلم هو قياس للمساحة الكلية بداخل أي شكل هندسي مهما كان، والمنشور الرباعي هو شكل ثلاثي الأبعاد، له ستة وجوه، وجميع وجود المنشور عبارة عن مستطيل
المنشور الرباعي هو عبارة عن شكل هندسي متعدد السطوح له زوجان من القواعد المتطابقة، وله 6 وجوه، جميع هذه الوجوه مستطيلات، و8 رؤوس، ويتم حساب الحجم بالسنتي متر المكعب، أو المتر المكعب، أو اي واحدة لقياس الحجوم المكعبة، هذا المثال يساعدنا في توضيح كيفية حساب حجم المنشور الرباعي
قوانين المنشور
يمكن معرفة أنّ المنشور منتظم إذا كانت القاعدتين فيه عبارة عن مضلعين منتظمين كالمربع أو المستطيل مثلًا، ويمكن تصنيفه إلى منشور قائم وهو الذي تتعامد فيه الأحرف الجانبية مع الأضلع في القاعدتين، والمنشور المائل الذي يكون عكس المنشور القائم، ويمكن حساب مساحة المنشور وحجمه من خلال القوانين التالية:
- مساحة المنشور الرباعي = مجموع مساحة القاعدتين + مجموع مساحة الوجوه الجانبية.
- مساحة السطح الجانبي للمنشور = مجموع مساحات الأوجه الجانبية.
- حجم المنشور = مساحة إحدى القاعدتين * البعد بينهما (ارتفاع المنشور).
قاعدة حجم المنشور الرباعي
يمكنك إيجاد حجم أي منشور رباعي بكل بساطة من خلال القانون الآتي:
- حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع؛ حيث يعبّر الارتفاع عن البعد بين القاعدتين المتقابلتين في المنشور القائم.
ومن الجدير بالذكر أنّ المنشور هو مجسّم ثلاثي الأبعاد له طول، وعرض، وارتفاع، وهناك نوعان من المنشور الرباعي، فقد يكون رباعياً قائماً تتعامد أسطحه الجانبية مع قاعدتيه، ويتخذ كل سطحٍ جانبيٍ له شكل مستطيل، أو أن يكون منشوراً رباعياً غير منتظم (مائل) تلتقي أسطحه الجانبية مع قاعدتيه بزوايا غير قائمةً، ويكون كل سطحٍ جانبي في المنشور المنحني على شكل متوازي أضلاع، ويعدّ كل من المكعّب ومتوازي المستطيلات من أشهر الأمثلة على المنشور الرباعي القائم.
المنشور (Prism)، شكل ثلاثي الأبعاد، يحتوي على قاعدتين متطابقتين ومتوازيتين، تحيط بها أوجه جانبية، يختلف عددها باختلاف عدد أضلاع قاعدته.
للمنشور نوعان، المنشور المنتظم وهو منشورٌ قاعدتاه مضلعان منتظمان، والمنشور غير المنتظم، بقاعدتين على شكل مضلعٍ غير منتظمٍ، كما تتسم كافة الأسطح في المنشور، سواء الجانبية منها أو القاعدتين، بكونها أسطح مستوية، ونتيجةً لذلك، فمن غير الممكن اعتبار أي شكلٍ كرويٍّ أنه منشورٌ. يصنف المنشور أيضًا إلى عددٍ من الأنواع بحسب عدد أضلاع قاعدته:
- منشور ثلاثي: عدد أضلاع قاعدته ثلاثة.
- منشور رباعي: عدد أضلاع قاعدته أربعة.
- منشور خماسي: عدد أضلاع قاعدته خمسة، وهكذا…
يمكن تقسيم المنشور إلى نوعين أيضًا وفقًا للزاوية التي يلتقي عندها الحرف الجانبي للمنشور، مع أحد أحرف قاعدته:
- المنشور القائم (Right Prism): وهو منشورٌ تتعامد أسطحه الجانبية مع قاعدتيه، ويتخذ كل سطحٍ جانبيٍّ له، شكل مستطيل.
- المنشور المنحني أو المائل (Oblique Prism): منشورٌ تلتقي أسطحه الجانبيية مع قاعدتيه بزوايا ليست قائمةً، يكون كل سطحٍ جانبيٍّ في المنشور المنحني على شكل متوازي أضلاع.
ملاحظات هامة
- من أشهر أشكال المنشور الرباعي متوازي المستطيلات والمكعب، فمتوازي المستطيلات ما هو إلا منشور رباعي قائم، ثلاثي الأبعاد، قاعدتاه على شكل مستطيلٍ، له ستة وجوهٍ كلها مستطيلات، وفي حال تساوي الأبعاد الثلاث في متوازي المستطيلات يتحول الشكل إلى مكعبٍ.
- قانونٌ مهمٌ يستخدم كثيرًا في حل مسائلَ يطلب فيها حساب حجم المنشور هو قانون مساحة سطح المنشور، والذي يساوي مجموع مساحتي القاعدتين، مضافًا إليها مساحة الأوجه الجانبية للمنشور، أو بطريقةٍ أُخرى يمكن حساب مساحة سطح المنشور بالعلاقة التالية: مساحة سطح المنشور = مساحة القاعدتين + محيط القاعدة * ارتفاع المنشور.
- مساحة المستطيل = الطول * العرض.
- مساحة المربع = طول الضلع2.
- مساحة شبه المنحرف = 1/2 * الارتفاع * (مجموع القاعدتين العلوية والسفلية). .
أمثلة محلولة لحساب حجم المنشور الرباعي
احسب حجم منشور رباعي قاعدته على شكل مستطيل، أطوال ضلعيه 6 سم و8 سم، وارتفاعه 4 سم، ثم قم بإيجاد مساحة سطحه الكلية.
حجم المنشور الرباعي = مساحة القاعدة * ارتفاع المنشور
مساحة القاعدة المستطيلة = الطول * العرض
مساحة القاعدة المستطيلة = 6 * 8 = 48 سم2
فيصبح حجم المنشور الرباعي = 48 * 4 = 192 سم3.
مساحة المنشور الرباعي= مساحة القاعدتين + مساحة الوجوه الجانبية.
مساحة القاعدة = الطول * العرض= 48 سم2.
الوجوه الجانبية عبارةً عن أربعة وجوهٍ، كل اثنانٍ منها متطابقان، فيكفي حساب اثنين منها المختلفان فيما بينهما، ثم ضرب المساحة الناتجة باثنين لكلٍ منهما.
مساحة الوجه الجانبي الأول = الطول * العرض = 4 * 6 = 24 سم2
مساحة الوجه الجانبي الثاني= الطول * العرض = 8 * 4 = 32 سم2
بذلك تكون المساحة الجانبية = 2 (24) +2 (32)
المساحة الجانبية الكلية = 112 سم2.
المساحة الكلية للمنشور الرباعي = 112 + 2 * 48
المساحة الكلية للمنشور الرباعي = 208 سم2
المطلوب حساب حجم منشور رباعي، قاعدته على شكل مستطيل، بحيث: طول ضلعي قاعدتيه 7 و9 سم، وارتفاع المنشور 13 سم.
حجم المنشور الرباعي = مساحة القاعدة * الارتفاع
مساحة القاعدة = الطول * العرض = 9 * 7= 63 سم2
ومنه حجم المنشور الرباعي = 63 * 13= 819 سم3.
في الشكل التالي منشور رباعي، قاعدته على شكل شبه منحرف، طول ضلعي قاعدته 6 أقدام، و4 أقدام، أما الارتفاع فيبلغ 9 أقدام، والمطلوب حساب حجم المنشور الرباعي.
حجم المنشور الرباعي = مساحة إحدى قاعدتيه * الارتفاع
مساحة قاعدة المنشور= ½ * ارتفاع شبه المنحرف * (طول القاعدة الأولى + طول القاعدة الثاني).
مساحة قاعدة المنشور= ½ * 4 * (6+4)
مساحة قاعدة المنشور = 20 قدم2.
حجم المنشور الرباعي = 20 * 9 = 180 قدم3.
في الشكل حوضان لسمك الزينة على شكل منشورين رباعيين، متصلان ببعضهما بوصلةٍ صغيرةٍ على شكل منشورٍ رباعيٍّ كذلك، باستخدام الأطوال الموجودة ضمن الصورة، المطلوب إيجاد الحجم الكلي للحوضين.
بالنظر إلى القياسات نلاحظ أن الحوضين متطابقان تمامًا، وقياساتهما واحدة، فيكفي عندها حساب حجم حوضٍ واحدٍ، ثم ضرب الناتج الذي سيظهر باثنين، ثم إضافة النتيجة إلى حجم القطعة الواصلة بينهما ليظهر الحجم الكلي.
حجم الحوض = مساحة القاعدة * الارتفاع
مساحة القاعدة = الطول * العرض = 3 * 4= 12 قدم2
حجم الحوض = 12 * 3 = 36 قدم3.
حجم الحوضين = 2 * 36 = 72 قدم3.
حجم القطعة الواصلة = مساحة القاعدة * الارتفاع
مساحة القاعدة = الطول * العرض= 2 * 1= 2 قدم2
حجم القطعة الواصلة = 2 * 1= 2 قدم3.
بذلك يكون الحجم الكلي للشكل = 72 + 2= 74 قدم3.
الأسئلة الشائعة عن حجم المنشور الرباعي
كم عدد الرؤوس في المنشور الرباعي؟
المنشور الرباعي، شكل ثلاثي الأبعاد، يحتوي على قاعدتين متطابقتين ومتوازيتين، تحيط بها أوجه جانبية، ويبلغ عدد الرؤوس فيه ثمانية.
ما هو حجم الاسطوانة؟
لحساب حجم الاسطوانة نقوم بضرب مساحة القاعدة مع الارتفاع، وبما أن القاعدة في الاسطوانة هي "دائرة" يصبح قانون حجم الاسطوانة مساوي للشكل التالي: مساحة القاعدة (مربع نصف القطر * π ) * الارتفاع
مثال: اسطوانة ارتفاعها 10 ونصف قطر قاعدتها 5، أوجد حجمها.
القانون: حجم الاسطوانة = مربع نصف القطر * π * الارتفاع
حجم الاسطوانة = 25 * 3.14 * 10 هذا يؤدي لأن حجم الاسطوانة = 785 سم مكعب.
ما هو حجم المنشور الثلاثي؟
لحساب حجم المنشور الثلاثي نقوم بضرب مساحة قاعدة المنشور * الارتفاع. وبما أن القاعدة مثلث يصبح القانون هو كالتالي: حجم المنشور الثلاثي = 1/2 * طول القاعدة * الارتفاع النازل على القاعدة * ارتفاع المنشور.
مثال:
أوجد حجم المنشور الثلاثي الذي طول قاعدته 5 سم، وارتفاعها 10 سم، وارتفاع المنشور 30 سم.
حجم المنشور الثلاثي = 1/2 * طول القاعدة * الارتفاع النازل على القاعدة * ارتفاع المنشور.
حجم المنشور الثلاثي = 1/2 * 5 * 10 * 30 = 750 سم مكعب.
كيف نحسب حجم الموشور القائم؟
لحساب حجم الموشور القائم نتبع القانون التالي: حجم الموشور القائم = مساحة القاعدة * الارتفاع.
مثال: موشور قائم أطوال اضلاعه 10 و 5 سم. والمسافة بين القاعدتين 10 سم. أوجد حجمه.
حجم الموشور = مساحة المثلث * الارتفاع.
حجم الموشور = (1/2 * 10 * 5) * 10
حجم الموشور = 25 * 10 = 250 سم مكعب.
-
السؤال: ما حجم المنشور الرباعي في الرسم أدناه بوحدة سم ٣ ؟
-
الإجابة: ٢٤